概要:教学重点、难点:求曲线的方程.教学用具:计算机.教学方法:启发引导法,讨论法.教学过程(www.67jx.com):【引入】1.提问:什么是曲线的方程和方程的曲线.学生思考并回答.教师强调.2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题,在建立坐标系的基础上,用坐标表示点;用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这一研究几何问题的方法称为坐标法,这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程.(2)通过方程,研究平面曲线的性质.事实上,在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程,再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.【问题】如何根据已知条件,求出曲线的方程.【实例分析】例1:设 、 两点的坐标是 、(3,7),求线段 的垂直平分线 的方程.首先由学生分析:根据直线方程的知识,运用点斜式即可解决.解法一:易求线段 的中点坐标为(1,3),由斜率关系可求得l的斜率为 于是有 即l的方程为 ①分析、引
数学教案-曲线和方程,标签:人教版高二数学教案,高二数学导数教案,http://www.67jx.com教学重点、难点:求曲线的方程.
教学用具:计算机.
教学方法:启发引导法,讨论法.
教学过程(www.67jx.com):
【引入】
1.提问:什么是曲线的方程和方程的曲线.
学生思考并回答.教师强调.
2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.
对于一个几何问题,在建立坐标系的基础上,用坐标表示点;用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这一研究几何问题的方法称为坐标法,这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是:
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程.
(2)通过方程,研究平面曲线的性质.
事实上,在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程,再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.
【问题】
如何根据已知条件,求出曲线的方程.
【实例分析】
例1:设 、 两点的坐标是 、(3,7),求线段 的垂直平分线 的方程.
首先由学生分析:根据直线方程的知识,运用点斜式即可解决.
解法一:易求线段 的中点坐标为(1,3),
由斜率关系可求得l的斜率为
于是有
即l的方程为
①
分析、引导:上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决.可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线 的方程?根据是什么,有证明吗?
(通过教师引导,是学生意识到这是以前没有解决的问题,应该证明,证明的依据就是定义中的两条).
证明:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
设 是线段 的垂直平分线上任意一点,则
即
将上式两边平方,整理得
这说明点 的坐标 是方程 的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
设点 的坐标 是方程①的任意一解,则
到 、 的距离分别为
所以 ,即点 在直线 上.
综合(1)、(2),①是所求直线的方程.
至此,证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设 是线段 的垂直平分线上任意一点,最后得到式子 ,如果去掉脚标,这不就是所求方程 吗?可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:
解法二:设 是线段 的垂直平分线上任意一点,也就是点 属于集合
由两点间的距离公式,点所适合的条件可表示为
将上式两边平方,整理得
果然成功,当然也不要忘了证明,即验证两条是否都满足.显然,求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看,解法二也比解法一优越一些);至于第二条上边已证.
这样我们就有两种求解方程的方法,而且解法二不借助直线方程的理论,又非常自然,还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.