概要：圆锥曲线 1.定义:⑴椭圆: ; ⑵双曲线: ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: (e为离心率); (左"+"右"-");②抛物线: ⑵弦长公式: ; 注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: ( 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线); ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab; ②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则 ; ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点 是 内心, 交 于点 ,则 ; ④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大; ⑸双曲线中的结论: ①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ; ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0); ③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>
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1.定义:⑴椭圆: ;⑵双曲线: ;⑶抛物线:略
2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: (e为离心率); (左"+"右"-");②抛物线:
⑵弦长公式:
;
注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: ( 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线);
⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab;
②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则 ;
③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点 是 内心, 交 于点 ,则 ;
④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大;
⑸双曲线中的结论:
①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ;
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0);
③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ;
④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直;
(6)抛物线中的结论:
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质:
<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒过定点 ;
<Ⅲ>. 中点轨迹方程: ;<Ⅳ>. ,则 轨迹方程为: ;<Ⅴ>. 。
③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则:
<Ⅰ>.当 时,顶点到点A距离最小,最小值为 ;<Ⅱ>.当 时,抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小,最小值为 。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联立的关于" "还是关于" "的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法:
(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。