概要： 点到平面的距离:点P到平面 的距离为点P到平面 的垂线段的长.常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为 ,则点A,B到平面 的距离之比也为 .特别地,AB=AC时,点A,B到平面 的距离相等;③体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 间的距离为 间的公垂线段的长.常有求法①先证线段AB为异面直线 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 且与 平行的平面,则直线 到平面的距离就是异面直线 间的距离.③找或作出分别过 且与 , 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线 间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3.
空间夹角和距离,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com点到平面的距离:点P到平面 的距离为点P到平面 的垂线段的长.常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为 ,则点A,B到平面 的距离之比也为 .特别地,AB=AC时,点A,B到平面 的距离相等;③体积法
(2)异面直线间的距离:异面直线 间的距离为 间的公垂线段的长.常有求法①先证线段AB为异面直线 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 且与 平行的平面,则直线 到平面的距离就是异面直线 间的距离.③找或作出分别过 且与 , 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线 间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。
(3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间的距离。
(4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3.空间向量的应用
(1)用法向量求异面直线间的距离
如右图所示,a、b是两异面直线, 是a和b 的法向量,点E∈a,F∈b,则异面直线 a与b之间的距离是 ;
(2)用法向量求点到平面的距离
如右图所示,已知AB是平面α的 一条斜线, 为平面α的法向量,则 A到平面α的距离为 ;
(3)用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
(4)用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
(5)用法向量求二面角
如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量 与 ,则平面α与β所成的角跟法向量 与 所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
(6)法向量求直线与平面所成的角
要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量 与直线a的夹角的余弦 ,易知θ= 或者 。
四.典例解析
题型1:异面直线所成的角
例1.(1)直三棱住A1B1C1-ABC,∠BCA= ,点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
(A ) (B) (C) (D)
(2)(06四川)已知二面角 的大小为 , 为异面直线,且 ,则 所成的角为( )
(A) (B) (C) (D)
解析:(1)连结D1F1,则D1F1 ,
∵BC ∴D1F1
设点E为BC中点,∴D1F1 BE,∴BD1∥EF1,∴∠EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角。由余弦定理可求得 。故选A。
(2)二面角 的大小为 , 为异面直线,且 ,则 所成的角为两条直线所成的角,∴ θ= ,选B。
点评:通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角。
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点。
求:D1E与平面BC1D所成角的大小(用余弦值表示)
解析:建立坐标系如图,
则 、 , ,
, , , , ,
, , 。
不难证明 为平面BC1D的法向量,
∵ 。
∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为 。
点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。
题型2:直线与平面所成的角