概要： 例3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 ,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解:构造正方体如图所示,过点C作CO⊥平面PAB,垂足为O,则O为正ΔABP的中心,于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a,则PO= ,故 ,即选C。 思维点拨:第(2)题也可利用公式 直接求得。 例2.(03年高考试题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90 ,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用余弦值表示); 解析:如图所示,建立坐标系,坐标原点为C,设CA=2a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), G( ) , ∵ , , , ∴ a=1,
空间夹角和距离,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com例3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 ,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解:构造正方体如图所示,过点C作CO⊥平面PAB,垂足为O,则O为正ΔABP的中心,于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a,则PO= ,故 ,即选C。
思维点拨:第(2)题也可利用公式 直接求得。
例2.(03年高考试题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90 ,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用余弦值表示);
解析:如图所示,建立坐标系,坐标原点为C,设CA=2a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), G( ) ,
∵ ,
,
,
∴ a=1, ,
∵ 为平面ABD的法向量,且 。
∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是 。
点评:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。
题型3:二面角
例5.在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,E为BC中点。
(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小(用正切值表示);
(2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
解析:(1)延长AB、DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱,∵PA⊥平面ABCD,∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,
过A作AO⊥PF于O,连结OD,则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得 ,故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为 ;
(2)解法1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A,
∴DA⊥平面BPA于A, 同时,BC⊥平面BPA于B,
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD= /2 θ=450。
即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。
解法2(补形化为定义法)
如图:将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN,则PQ⊥PA、PD,于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。
例6.(1)(2009年,北京卷高考题)如图6,正三棱柱 的底面边长为3,侧棱 ,D是CB延长线上一点,且 。求二面角 的大小。(略去了该题的①,③问)
(2)(06四川卷)已知球 的半径是1, 、 、 三点都在球面上, 、 两点和 、 两点的球面距离都是 , 、 两点的球面距离是 ,则二面角 的大小是( )
(A) (B) (C) (D)
解析:(1)取BC的中点O,连AO。
由题意:平面 平面 , ,∴ 平面 ,
以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系,
则 , , , ,
∴ , , ,
由题意 平面ABD, ∴ 为平面ABD的法向量。
设 平面 的法向量为 ,
则 , ∴ , ∴ ,
即 。∴ 不妨设 ,
由 ,
得 。 故所求二面角 的大小为 。
评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:"找--证--求"直接简化成了一步曲:"计算",这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神;