概要： (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取 时,会算得 ,从而所求二面角为 ,但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取"相等角"或取"补角"。 (2)解析:球 的半径是R= , 三点都在球面上, 两点和 两点的球面距离都是 ,则∠AOB,∠AOC都等于 ,AB=AC, 两点的球面距离是 ,∠BOC= ,BC=1,过B做BD⊥AO,垂足为D,连接CD,则CD⊥AD,则∠BDC是二面角 的平面角,BD=CD= ,∴∠BDC= ,二面角 的大小是 ,选C。 题型4:异面直线间的距离 例7.如图,已知正方体ABCD- 棱长为 , 求异面直线BD与 C的距离. 解法一:连结AC交BD的中点O,取 的中点M,连结BM交 于E,连 ,则 ,过E作EF//OM交OB于F,则 。 又斜线 的射影为AC,BD AC, 。 同理 , 为BD与 的公垂线,
空间夹角和距离,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com(2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取 时,会算得 ,从而所求二面角为 ,但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取"相等角"或取"补角"。
(2)解析:球 的半径是R= , 三点都在球面上, 两点和 两点的球面距离都是 ,则∠AOB,∠AOC都等于 ,AB=AC, 两点的球面距离是 ,∠BOC= ,BC=1,过B做BD⊥AO,垂足为D,连接CD,则CD⊥AD,则∠BDC是二面角 的平面角,BD=CD= ,∴∠BDC= ,二面角 的大小是 ,选C。
题型4:异面直线间的距离
例7.如图,已知正方体ABCD- 棱长为 ,
求异面直线BD与 C的距离.
解法一:连结AC交BD的中点O,取 的中点M,连结BM交 于E,连 ,则 ,过E作EF//OM交OB于F,则 。
又斜线 的射影为AC,BD AC, 。
同理 , 为BD与 的公垂线,由于M为 的中点, ∽ , 。
,EF//OM, ,故 OB= , .
解法二.(转化为线面距)
因为BD//平面 , 平面 ,故BD与 的距离就是BD到平面 的距离。
由 ,即 ,得 .
解法三.(转化为面面距)易证平面 //平面 ,用等体积法易得A到平面 的距离为 。
同理可知: 到平面 的距离为 ,而 ,故两平面间距离为 .
解法四.(垂面法)如图,BD//平面 , , 平面 ,平面 平面 = , ,故O到平面 的距离为 斜边上的高 。
解法五。(函数最小值法)如图,在上取一点M,作ME BC于E,过E作EN BD交BD于N,易知MN为BD与 的公垂线时,MN最小。
设BE= ,CE=ME= ,EN= ,
MN== = = 。
当时 ,时, 。
例8.如图2,正四棱锥 的高 ,底边长 。求异面直线 和 之间的距离?
分析:建立如图所示的直角坐标系,则
, ,
, ,
。
, 。
令向量 ,且 ,
则 , , ,
, 。
异面直线 和 之间的距离为:
。
题型5:点面距离
例9.如图,已知ABCD为边长是4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。
解法一:连结BF,BG, ,
又E,F分别是AB,AD的中点,
。
, ,
,
.
解法二. E,F分别是AB,AD的中点, EF//BD, B到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离,BD AC于O,EF//BD,
又GC 平面ABCD,EF 平面ABCD, EF GC,EF 平面GEF, 平面GEF 平面GCH,过O点作 HG,则 平面GEF, 为O到平面GCH的距离,即B到平面GEF的距离。
由解法一知: ,由 ∽ 得 。
思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。
例10.(1)(06安徽)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面 内,其余顶点在 的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面 的距离可能是:______(写出所有正确结论的编号)
①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
(2)平行四边形的一个顶点A在平面 内,其余顶点在 的同侧,已知其中有两个顶点到 的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4;
以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号)
解析:(1)如图,B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4,则D、A1的中点到平面 的距离为3,所以D1到平面 的距离为6;B、A1的中点到平面 的距离为 ,所以B1到平面 的距离为5;则D、B的中点到平面 的距离为 ,所以C到平面 的距离为3;C、A1的中点到平面 的距离为 ,所以C1到平面 的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选①③④⑤。