新人教A版数学选修1-1：第三单元导数及其运用练习题1

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导数单元检测二 29．已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （I）求 的最大值； （II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式． 解：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根， 设两实根为 （ ），则 ，且 ．于是 ， ，且当 ，即 ， 时等号成立．故 的最大值是16． （II）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是 ，即 ， 因为切线 在点 处空过 的图象， 所以 在 两边附近的函数值异号，则 不是 的极值点． 而 ，且 ． 若 ，则 和 都是 的极值点． 所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 ． 解法二：同解法一得 ． 因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）． 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 设 ，则 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 由 知 是 的一个极值点，则 ， 所以 ，又由 ，得 ，故 ． 30．已知函数 ， ． （I）证明：当 时， 在 上是增函数； （II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数； （III）证明： ． 31．已知函数 ， ，且对任意的实数 均有 ， ． （I）求函数 的解析式； （II）若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围． 32．设函数 ． （Ⅰ）证明： 的导数 ； （Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围． 解：（Ⅰ） 的导数 ． 由于 ，故 ． （当且仅当 时，等号成立）． （Ⅱ）令 ，则 ， （ⅰ）若 ，当 时， ， 故 在 上为增函数， 所以， 时， ，即 ． （ⅱ）若 ，方程 的正根为 ， 此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数． 所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是 ． 33．设函数 在 及 时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围． 解：（Ⅰ） ， 因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ． 即 解得 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ． 当 ...， 大小：4.15 MB