中考专题讲座—数形结合探索定值

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数形结合 探索定值 　　一、数形结合，探索思路　　 例1 已知抛物线y=x2+kx+1与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB=60°。 　 分析　很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使∠ACB=60°，又意味着什么？ 　 不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB=90°就意味着△ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为x1、x2，则它们是方程x2+kx+1=0的两个相异的实数根，那么有 　　 　　于是AB=|x2-x1|= 　　又设顶点C的坐标为(x0,y0)，应用顶点坐标公式，有y0= ，CD=|y0|。 　　那么条件CD= AB就是如下方程： 　　 |x1-x2|=|y0|，即 　　 （∵k2-4>0）。 　 (k2-4)2-4(k2-4)=0，　 (k2-4)(k2-8)=0。　 ∵k2-4>0，∴k2-8=0。∴k=±2 。　 于是抛物线解析式为y=x2±2 x+1。　 这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其∠ACB=60°。画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB逐渐变小，当∠ACB=60°时，由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形。因为等边三角形的高等于边长的 倍，所以CD= AB，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。 设把抛物线y=x2±2 x+1向下平称|l|个单位后，使∠ACB=60°，则平移后抛物线的解析式为　　y=x2±2 x+1+l。 　　设A、B两点的横坐标分别为 ，C点纵坐标为 ， 则按题意有 | |　　 ① 　　又 =±2 ， =1+l， 因此　　 = 。　　 = =l-1。　　 代入①，得 =|1-l|。　　 平方，整理得(1-l)(l+2)=0。　　 因平移后抛物线仍保持同x轴有两个交点， 所...， 大小：826 KB